Другими словами, O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) -- это число пар из декартового
произведения \ВД\А_r\Иx\ВД\А_s, таких, что в паре стоят одинаковые имена.
В рассмотренных нами случаях реальных хронологических
списков, описывающих древнюю и средневековую историю Европы,
обнаружилось весьма примечательное обстоятельство:
ЗНАЧЕНИЯ L_0(\ВД\А_R, \ВД\А_S) И O(\ВД\А_R, \ВД\А_S) СВЯЗАНЫ МЕЖДУ СОБОЙ ТАКИМ
ОБРАЗОМ, ЧТО ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ O(\ВД\А_R, \ВД\А_S) УВЕЛИЧИВАЕТСЯ (В
СТАТИСТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ) И L_0(\ВД\А_R, \ВД\А_S).
Этот вывод был получен на основе сравнения гистограмм частот
значений L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s) при условии, что значение O(\ВД\А_r, \ВД\А_s)
фиксировано.)
Может показаться, что значение связи L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s) увеличивается
при увеличении O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) непосредственно за счет общих имен в \ВД\А_r и
\ВД\А_s (механизмы, приводящие к такому увеличению даже в правильных
списках действительно существуют, но они очень слабы). Однако это
не так. Чтобы показать это, введем еще две меры связи
определяющих окрестностей \ВД\А_r и \ВД\А_s в хронологическом списке Х.
Пусть дана пара определяющих окрестностей \ВД\А_r и \ВД\А_s в списке
Х. Определим соответствующие РАЗРЕЖЕННЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ОКРЕСТНОСТИ
следующим образом:
\ВД\А'_r= {множество различных имен из \ВД\А_r};
\ВД\А'_s= {множество различных имен из \ВД\А_s};
\ВД\А"_{r, s} = {множество имен из \ВД\А'_r, не совпадающих ни с
какими именами из \ВД\А_s};
Таким образом, окрестности \ВД\А_r, \ВД\А'_s и \ВД\А"_{r, s} разрежены таким
образом, что в них не осталось различных имен. Кроме того,
окрестность \ВД\А_{r, s} не содержит имен, общих с \ВД\А_s или с \ВД\А'_s.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Положим
c
\
L_1(\ВД\А_r, \ВД\А_s) = --------Д l(a, b),
/
|\ВД\А'_r|\Иx\А|\ВД\А'_s|
a\ВEД\А_r, b\ВEД\А'_s

c
\
L (\ВД\А_r, \ВД\А_s) = ----------Д l(a, b).
2 /
|\ВД\А"_{r, s}|\Иx\А|\ВД\А'_s|
a\ВEД\А"_{r, s}, b\ВEД\А'_s
Здесь через |ч| обозначена длина (разреженной) определяющей
окрестности, то есть число имен в ней.
Легко проверить, что определенная таким образом величина
связи L_2 НЕ ЗАВИСИТ ОТ ПОРЯДКА определяющих окрестностей:
L_2(\ВД\А_r, \ВД\А_s) = L_2(\ВД\А_s, \ВД\А_r).
Величина связи L_2(\ВД\А_r, \ВД\А_s) уже не связана напрямую с общими
именами в \ВД\А_r и \ВД\А_s -- эти имена в ее определении вообще не
участвуют. Оказалось однако, что для реальных списков,
относящихся к древней и средневековой истории Европы, зависимость
связи L_2(\ВД\А_r, \ВД\А_s) от O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) остается прежней (такой же, как и
описанная выше зависимость L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s) от O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) ). То же верно и
для связи L_1(\ВД\А_r, \ВД\А_s).
Итак, в примерах, относящихся к древней и средневековой
истории Европы (о них -- ниже) было обнаружено, что в основе двух
внешне не связанных друг с другом величин L_2(\ВД\А_r, \ВД\А_s) и O(\ВД\А_r, \ВД\А_s)
лежит некий общий фактор (общая причина), приводящий к их
статистической зависимости.
Таким фактором может являться наличие дубликатовв
хронологических списках имен. В самом деле, как было показано
выше, дублирующие друг друга определяющие окрестности в
хронологическом списке имеют (в среднем) повышенное значение
связи L_0. То же верно и для связей L_1, L_2.
Но с другой стороны, и значение O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) для них должно быть
в среднем выше, чем для пар независимых определяющих
окрестностей, так как дубликаты иногда (не далеко не всегда! )
используют одни и те же имена (точнее: использут одинаковые имена
чаще, чем недубликаты, что и приводит к повышению значения
O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) ). Таким образом, присутствие в списке Х дубликатов
приводит к прямой зависимости (в статистическом смысле) величины
L_2(\ВД\А_r, \ВД\А_s) от O(\ВД\А_r, \ВД\А_s). Эту зависимость мы и обнаруживаем в
упомянутых примерах.
ЗАМЕЧАНИЕ. Может показаться, что для различения дубликатов в
хронологических списках можно было бы использовать значения
O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) с тем же успехом, что и L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s). Отметим, что подсчет
O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) вычислительных сложностей не представляет какова бы ни
была длина списка (т. к. сложность его вычисления вообще не
зависит от длины списка).
Между тем, вычисление связей L_0, L_1 или L_2 для реальных
списков, которые содержат сотни и тысячи имен, требует
многочасовых вычислений на современных ЭВМ (сложность их
вычисления пропорциональна квадрату длины списка).
Однако, использование O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) в качестве меры связи
отрезков списка, дает слишком "зашумленную" картину и не
позволяет, в реальных примерах, надежно определить дубликаты в
нем. Дело в следующем. Если O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) велико, то, как правило,
велико и значение L_0, L_1 или L_2.
Но обратное верно далеко не всегда. При больших значениях
связи L_0, L_1 или L_2 соответствующее значение O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) часто
оказывается небольшим. Это означает, что дубликаты в значительной
доле случаев используют РАЗЛИЧНЫЕ имена для обозначения одних и
тех же деятелей (иначе они были бы все видны "на глаз").
Использование же связей типа L_0 позволяет "выжать" из
хронологического списка ту информацию о его структуре, которая на
глаз не видна и определить дубликаты даже в том случае если все
имена, используемые в них, попарно различны.
Для всех рассмотренных нами хронологических списков
использование связей L_0, L_1 и L_2 приводило к одному и тому же
виду ответа (обнаруживались одни и те же системы дубликатов).
Поэтому мы будем иногда говорить просто о связи L, подразумевая
под этим одну из связей L_0, L_1 или L_2.
p3'3'5
5. РАЗЛИЧЕНИЕ ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ ПАР
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ В ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ СПИСКАХ ИМЕН
Перейдем к описанию способа определения порогов в множестве
значений связи $L(\Delta_r, \Delta_s)$, разделяющих зависимые и независимые пары
определяющих окрестностей $\Delta_r, \Delta_s$. Приводимые ниже рассуждения
имеют КАЧЕСТВЕННЫЙ характер. Они оправдываются aposteriori, так
как позволяют получить более четкую картину структуры списка.
Важно, что наиболее существенные черты этой картины
оказываются (во всех рассмотренных нами реальных примерах)
нечуствительными не только к выбору параметров модели $k$ и $p$ (а
также к приведенным выше изменениям в определении самой связи,
что уже отмечалось), но и к колебаниям указанных порогов.
Пусть дан хронологический список имен Х. Зафиксируем для
него параметры модели $(k, p)$ и построим набор гистограмм частот
появления значений связи $L_0(\Delta_r, \Delta_s)$ ($L_1$ или $L_2$),
при условии, что
значение $O(\Delta_r, \Delta_s)$
постоянно (для каждой из гистограмм оно свое).
В рассмотренных нами реальных списках все эти гистограммы имели
вид приблизительно как на рис. 28.
В КАЧЕСТВЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОРОГА, ОТДЕЛЯЮЩЕГО СВЯЗЬ $L_0$ ($L_1$, $L_2$)
ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ ПАР ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ $(\Delta_R, \Delta_S)$
ОТ СВЯЗИ
ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ ПАР $(\Delta_R, \Delta_S)$
ВОЗЬМЕМ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ, ПРИ
КОТОРОМ СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ГИСТОГРАММА ПАДАЕТ ДО НУЛЯ (ЭТО ЗНАЧЕНИЕ
ДЛЯ КАЖДОЙ ПАРЫ $(\Delta_R, \Delta_S)$,
ВООБЩЕ ГОВОРЯ, СВОЕ, Т. К. ОНО ЗАВИСИТ ОТ
ВЕЛИЧИНЫ $O(\Delta_R, \Delta_S)$).
Связь, превосходящую такой порог, будем называть
СУЩЕСТВЕННОЙ связью, а связь, не превосходящую его -
НЕСУЩЕСТВЕННОЙ связью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МАТРИЦЕЙ СВЯЗЕЙ $M(k, p, L_i, Х)$, $0\lei\le2$,
хронологического списка имен Х называется построенная по этому
списку квадратная верхнетреугольная матрица размера $(n-k)\times(n-k)$,
в ячейке $(r, s)$ которой стоит значение
$$
M_{r, s} =
\cases
L_i(\Delta_r, \Delta_s), & \text{если связь $L_i(\Delta_r, \Delta_s)$
определяющих} \\
& \text{окрестностей $\Delta_r$ и $\Delta_s$
существенна и $r\le s$;}
0, & \text{в противном случае. }
\endcases
$$
p3'4'1
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХРОНОЛОГИИ
ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СПИСКОВ ИМЕН
1. СПИСОК ИМЕН ИМПЕРАТОРОВ РИМА
1. 1. ОПИСАНИЕ СПИСКА "РИ"
Список имен римских императоров был составлен А. Т. Фоменко по
[15]. Этот список является хронологическим перечнем всех
известных сегодня имен и прозвищ всех императоров и фактических
правителей следующих "Римских" империй:
1. Царского Рима, традиционная датировка которого: VIII век
до н. э. -- VI век до н. э. Основным источником по истории Царского
Рима считается "История Рима от основания Города" Тита Ливия.
Считается, что столицей этой империи был город Рим в Италии.
2. Античной Римской империи, основанной Суллой, Помпеем,
Юлием Цезарем и Августом. Традиционная датировка: I век н. э. -
III век н. э. Столицей этой империи считается также итальянский
Рим.
3. Средневековой Римской империи III-V вв. н. э., якобы -
также в итальянском Риме. Эта империя была основана Аврелианом и
разрушена в результате "нашествия варваров", датируемого в
скалигеровской хронологии V веком н. э.
4. Римской империи Каролингов. Каролинги именовались
римскими императорами и короновались в Риме. Якобы, -- в
итальянском. Столица Каролингов располагалась вне Италии, в
городе "Ахене".
5. Священной римской империи германской нации. Традиционная
датировка -- X-XIII века н. э. Императоры этой империи -
Гогенштауфены, -- были германскими императорами, но они
именовались "римскими" и короновались в Риме.
6. Империи Габсбургов XIII-XVIII веков. Габсбурги также
именовались римскими императорами, хотя имели свою столицу в
Австрии, в Вене.
Считается, что перечисленные империи продолжали одна другую
как "римские" империи. Нам сообщают, что все их императоры
именовались "римскими" и по большей части короновались в
итальянском Риме. Поэтому имена этих императоров естественным
образом выстраиваются в единый хронологический список "имен
римских императоров". Мы будем иногда называть этот список для
краткости списком РИ.
Таким образом, рассматриваемый здесь список имен римских
императоров (список РИ) начинается с Ромула -- легендарного
основателя Царского Рима и кончается Габсбургами середины XVIII
века.
Этот список имеет два хронологических разрыва. Дело в том,
что были периоды времени, когда, согласно скалигеровской
хронологии, "римских императоров" (то есть императоров Западного,
итальянского Рима) вообще не было.
Таких периодов -- два. В эти периоды Скалигер помещает две
римские республики:
1. знаменитую античную республику VI в. до н. э. -- I в. до
н. э., начавшуюся после падения Царского Рима и закончившуюся при
Сулле;
2. средневековую римскую республику VI-VII веков н. э., так
называемый "папский Рим".
Таким образом, в списке РИ возникает две больших лакуны. Это
затрудняет нормировку списка и делает ее неоднозначной.
Напомним, что при применении методики гистограмм частот
разнесений связанных имен, хронологический список предварительно
нормируется. Если только он не оказался равномерно плотным с
самого начала.
Нормировка необходима для того, чтобы безусловное
распределение случайной величины $\zeta$ имело линейную гистограмму
частот. То есть линейную функцию плотности распределения. Эта
линейность значительно упрощает качественный анализ гистограмм
частот разнесений связанных имен, на основе которого определяются
величины сдвигов между статистическими дубликатами в том или ином
хронологическом списке.
Поскольку список РИ не может быть однозначно нормирован, мы
вообще не будем нормировать его. Вместо этого, наряду с
гистограммами частот связанных имен для списка РИ каждый раз
будет приводиться для сравнения и соответствующая гистограмма
безусловного распределения случайной величины $\zeta$, которая в этом
случае не будет линейной.
1. 2. АНАЛИЗ ГИСТОГРАММ ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН
ДЛЯ СПИСКА РИМСКИХ ИМПЕРАТОРОВ "РИ" И ОТДЕЛЬНЫХ ЕГО ЧАСТЕЙ
На рис. 28 приведена гистограмма частот разнесений
имен-ровесников $f_2(x)$ и для сравнения -- гистограмма $f_1(x)$
безусловного распределения $\zeta$ (пунктирная линия). При этом размер
главы взят равным 30 годам. Радиус затухания зависимости в списке
взят равным 90 годам. Таким образом, $\epsilon = 90$ лет (или 3 главы по
30 лет).
1. 2. 1. СДВИГИ НА 240 И 800 ЛЕТ В СПИСКЕ РИМСКИХ ИМПЕРАТОРОВ
Из гистограммы на рис. 28 следует, что список римских
императоров содержит статистические дубликаты. Ясно выделяются
два сдвига, величины которых легко определить по резким всплескам
графика $f_2(x)$ по сравнению с $f_1(x)$. Отметим, что поскольку
список РИ не нормирован, то имеют смысл лишь относительные
всплески -- по сравнению с гистограммой $f_1(x)$ безусловного
распределения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81