Общее число возможностей, таким образом, равно восьми, т. е. 23 Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами п объектов и вы желаете знать, сколько путей имеется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же-выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2n. Если выразить это в логическом языке: класс из п-то количества элементов имеет 2n подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда п бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2n больше, чем п. Применяя это, как сделал я, ко всем веща.м во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются «вещами». Но поскольку никто не знает точно, что означает слово «вещь» в этом утверждении, не очень-то легко тбчно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключение, к которому я пришел, состояло в том, что классы – это просто подсобное средство в рассуждении. Классы приводили-меня в замешательство уже в то время, когда я писал «Принципы математики». Тогда я выражал свои мысли на языке, который был реалистическим (в схоластическом смысле) в большей мере, чем мне представляется сегодня правильным. Я писал в предисловии к той работе: «Обсуждение неопределенностей (indefinables), составляющее главный предмет философской логики, имеет целью ясно увидеть и прояснить для других соответствующие сущности, чтобы разум мог быть с ними знаком так же, как с красным цветом или вкусом ананаса. Там, где-как в данном случае-неопределимости получаются прежде всего в качестве необходимого остатка в процессе анализа, зачастую проще знать, что такие сущности должны быть, чем наблюдать их актуально; здесь имеется аналогия с процессом открытия Нептуна, с тем различием, что последний этап– поиски с помощью умственного телескопа сущности, которая имеет выводной характер, – нередко является самой трудной частью во всем предприятии. Признаюсь, что в случае с классами я не смог увидеть понятия, выполняющего те условия, которым должно удовлетворять понятие „класс“. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что чего-то не хватает, но чего именно, я до сих пор не обнаружил».
Теперь мне следует сформулировать вопрос несколько иначе. Следует сказать, что если дана любая пропозициональная функция, скажем fx, имеется некоторая область значений х,для которых эта функция «значима», т. е. либо истинна, либо ложна. Если а принадлежит этой совокупности, то fa-суждение, которое либо истинно, либо ложно. Вдобавок к подстановке постоянной вместо переменной х есть еще две вещи, которые можно делать с пропозициональной функцией: можно утверждать, во-первых, что она всегда истинна, а во-вторых– что она иногда истинна. Пропозициональная функция «если хчеловек, то х смертен» всегда истинна; пропозициональная функция «х человек» иногда истинна. Таким образом, с пропозициональной функцией можно проделать следующие три вещи: первое-подставить константу вместо переменной; второе-утверждать все значения функции: и третье-утверждать некоторые значения или по крайней мере одно значение. Сама по себе пропозициональная функция есть лишь выражение, она ничего не утверждает и не отрицает. Равным образом класс есть лишь выражение; это удобный способ говорить о значениях переменной, при которых функция истинна.
Что касается последнего из перечисленных выше трех условий, которым должно отвечать решение, то я выдвинул теорию, которая, видимо, другим логикам не понравилась; однако я до сих пор считаю ее здравой. Эта теория заключалась в следующем. Когда я утверждаю все значения функции fx, то значения, которые может принимать х, должны быть определенными (definite), если я хочу, чтобы то, что я утверждаю, было определенным. Должна быть, та.к сказать, некоторая тотальность возможных значений х. Если я теперь стану образовывать новые значения в терминах этой тотальности, то тотальность, по-видимому, будет из-за этого расширяться и, следовательно, новые значения, к ней относящиеся, будут относиться к этой более широкой тотальности. Но поскольку они должны быть включены в тотальность, тотальность никогда не будет поспевать за ними. Все это напоминает попытки прыгнуть на собственную тень. Проще всего проиллюстрировать это на парадоксе лжеца. Лжец говорит: «Все, что я утверждаю, ложно». Фактически то, что он делает, это утверждение, но оно относится к тотальности его утверждений, и, только включив его в эту тотальность, мы получаем парадокс. Мы должны будем различить суждения, которые относятся к некоторой тотальности суждений, и суждения, которые не относятся к ней. Те, которые относятся к некоторой тотальности суждений, никак не могут быть членами этой тотальности. Мы можем определить суждения первого порядка как такие, которые не относятся к тотальности (по totality) суждений; суждения второго порядка-.как такие, которые отнесены к тотальности суждений первого порядка и т. д. ad infiniturn. Таким образом, наш лжец должен будет теперь сказать: «Я утверждаю ложное суждение первого порядка, которое является ложным». Но само это суждение-второго порядка. Он поэтому не утверждает суждения первого порядка. Говорит он нечто просто ложное, и доказательство того, что оно также и истинно, рушится. Такой же точно аргумент применим и к любому суждению высшего порядка.
Обнаруживается, что во всех логических парадоксах есть своего рода рефлексивная само-отнесенность, которую следует осудить по тем же причинам: она включает в себя в качестве члена тотальности нечто указывающее на эту тотальность и могущее иметь определенное значение, только если тотальность уже фиксирована.
Должен сознаться, что это учение не получило широкого признания, но я не вижу аргумента против, который казался бы мне неоспоримым.
Теория дескрипщий, упомянутая выше, впервые была изложена в моей статье «О денотации» в журнале «Майнд» (1905). Она так поразила тогдашнего редактора журнала, посчитавшего ее нелепой, что он упрашивал меня пересмотреть ее и не настаивать на публикации. Но я был убежден в том, что она является здравой, и отказался уступить. Впоследствии статья получила широкое признание и стала считаться моим важнейшим вкладом в логику. Правда, сегодня ее отвергают те, кто отказывается от различения имен и других слов. Полагаю, такая реакция происходит из-за слабого знакомства с математической логикой. Во всяком случае, я не вижу в такой критике смысла. Признаюсь, однако, что учение об именах, наверное, немного сложнее, чем я когда-то полагал. Впрочем, сейчас я не буду рассматривать эти трудности и возьму язык в его обыденном употреблении.
Я использовал для доказательства противоположность имени «Скотт» и дескрипции «автор Веверлея». Утверждение «Скотт-автор Веверлея» выражает тождество, а не тавтологию. Георг IV желал знать, является ли Скотт автором Веверлея, но не желал знать, является ли Скотт Скоттом. Для всех, кто не изучал логику, это совершенно ясно. Но для логика в этом заключена головоломная трудность. Логики полагают (или полагали раньше), что если два выражения обозначают один и тот же объект, то суждение, содержащее одно выражение, всегда может быть заменено суждением, содержащим другое, и при этом остаться истинным, если оно было истинным, или ложным, если оно было ложным. Но, как мы только что видели, можно превратить истинное суждение в ложное, если заменить «автора Веверлея» на «Скотта». Отсюда видно, что необходимо различать между именем и дескрипцией: «Скотт»-это имя, а «автор Веверлея»-дескрипция.
Другое важное различие между именами и дескрипциями заключается в том, что имя не может осмысленно входить в суждение, если нет чего-то, что оно именует, в то время как дескрипция не подчиняется этому ограничению. Мейнонг, к работам которого я относился тогда с великим почтением, не сумел заметить этого различия. Он указывал, что можно делать утверждения с логическим субъектом «золотая гора», хотя никакой золотой горы не существует. Он доказывал, что когда вы говорите, будто золотой горы не существует, то очевидно, что есть нечто, о чем вы говорите, что этого не существует – а именно, золотая гора; следовательно, золотая гора должна пребывать в некоем туманном Платоновом мире бытия, ибо в противном случае ваше утверждение, что золотая гора не существует, не будет иметь значения. Признаюсь, что, пока. я не пришел к теории дескрипции, этот аргумент казался мне убедительным. Существенно важным моментом в теории было то, что, хотя «золотая гора» может быть в грамматическом смысле субъектом значимого суждения, такое суждение, если его правильно проанализировать, больше не будет иметь субъекта. Суждение «золотая гора не существует» становится суждением «пропозициональная функция «х золотая и гора» ложна для всех значений х». Утверждение «Скотт-автор Веверлея» становится утверждением «для всех значений х «х написал Веверлея» эквивалентно «х-это Скотт». Здесь фраза «автор Веверлея» уже не встречается.
Теория дескрипции пролила также свет на то, что имеется в виду под «существованием». «Автор Веверлея существует» означает «имеется значение с, для которого пропозициональная функция „х написал Веверлея“ всегда тождественна «х есть с» истинно». Существование в этом смысле может утверждаться только об описании, и, будучи проанализировано, оно оказывается случаем пропозициональной функции, истинной по крайней мере при одном значении переменной. Мы можем сказать: «Автор Веверлея существует», и мы можем сказать: «Скотт– автор Веверлея»; но «Скотт существует»-скверно с точки зрения грамматики. В лучшем случае это можно проинтерпретировать как означающее «человек, именуемый „Скоттом“, существует», но «человек, именуемый „Скоттом“ – это дескрипция, а не имя. Когда имя используют правильно, т, е. как собственно имя, грамматически неправильно было бы говорить: „это существует“ („that exists“).
Центральная идея теории дескрипции состояла в том, что фраза может обусловливать значение предложения, не имея сама по себе (in isolation) никакого значения. Этому в случае дескрипции имеется точное доказательство: если бы «автор Веверлея» означало что-нибудь другое, чем «Скотт», то «Скотт – автор Веверлея» было бы ложно, а это не так. Если бы «автор Веверлея» означало «Скотт», то «Скотт – автор Веверлея» было бы тавтологией, а это не так. Следовательно, «автор Веверлея» не означает ни «Скотт», ни что-либо другое, т. е. «автор Веверлея» ничего не означает. Что и следовало доказать.

1 2