Все это говорит о том, что ошибка ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А.
Совсем иное положение с ошибкой ф. Она варьируется от созвездия созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы. Это – стандартный средневековый и "античный" инструмент (рис. 2.10). Схематическое изображение на рис. 2.11. При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора, включающий ошибку у, фиксируется в инструменте, а угол ф меняется от одной серии измерений к другой (рис. 2.12).
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Из проведенных рассуждений следует практический вывод. Л именно, мы вправе использовать для части неба А найденное значение в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном к галоге Альмагеста. Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра, а именно и игнорирование другого параметра, а именно? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин у и ф к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов (см. рис. 2.7). Здесь как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а – ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что приблизительно равняется Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если = 20', а = 10 градусов, то = 3'.
Преимущество параметров состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Вычисления показали, что р много меньше. Отметим, что в реальности не превышает 5'. Отсюда следует, что основной вклад, с точностью до 20%, в широтные невязки вносит составляющая. Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датирования каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные интервалы (St)y только для величины что упрощает вычисления.
РЕЗЮМЕ
1. Для звезд из каталога Альмагеста нами обнаружена систематическая ошибка. Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд А и ZodA, содержащих бблыиую часть северных и зодиакальных звезд каталога.
Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов. Значение представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t. Для величины лежит в этом интервале с вероятностью не меньше р. В нашей работе было принято значение р = 0, 998. Итогом является построение кривой и соответствующей доверительной полосы (рис. 2.9).
2. Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге Альмагеста присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений для всех рассмотренных совокупностей звезд – как больших, так и малых – имеют непустое пересечение, содержащее значения определенные для совокупностей звезд А и ZodA.
3. Систематическая ошибка в частях неба В, D, М определяется с большой погрешностью, что не дает оснований выбирать звезды из этих частей неба для целей датировки.
4. Проведенный анализ подтвердил, что в совокупностях звезд А и ZodA после компенсации систематической ошибки более половины звезд оказываются измеренными с широтной невязкой менее 10'. Тем самым выясняется, что претензии составителя каталога Альмагеста на точность в 10 минут состоятельны.
5. Ошибка не является "единой" для всех созвездий и, таким образом, не может считаться систематической. Однако ее влияние на широтные невязки звезд много меньше влияния ошибки.
ДАТИРОВКА КАТАЛОГА.
Перейдем теперь к датировке каталога Альмагеста. Проведенный анализ систематических ошибок позволил сделать вывод, что части неба А и ZodA каталога Альмагеста измерены наиболее точно. Поэтому для целей датировки нами были взяты звезды именно из части неба А. Однако путем только компенсации систематической ошибки датировать каталог невозможно. Для целей датировки необходимо знать, какие именно звезды составитель каталога измерял наиболее тщательно.
ГИПОТЕЗА 1. Наиболее тщательно измерялись именные звезды. Таких звезд в части неба А и на ее границе имеется девять. Это Арк-тур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес, Лира (= Вега), Капелла. Одна из этих звезд – Превиндемиатрикс – из рассмотрения была исключена, так как наблюденные Птолемеем ее координаты неизвестны. Отметим, что большинство из этих звезд находится в области неба ZodA (рис. 2.8). Это косвенно подтверждает сформулированную гипотезу. Именные звезды – это знаменитые, яркие звезды.
ГИПОТЕЗА 2. В момент измерения широтные ошибки всех именных звезд не превосходили 10'.
Если принять гипотезы 1 и 2, то их следствием станет метод датировки звездного каталога (подробное описание его есть в наших специальных книгах), применение которого показывает, что интервал возможных датировок каталога следующий: от 600 года н. э. до 1300 года н. э. (рис. 2.13).
За пределами этого интервала времени каталог составлен быть не мог. В частности, каталог Альмагеста не мог быть составлен во II веке н. э., куда его относит скалигеровская хронология.
Систематическая ошибка, компенсация которой играет столь важную роль в нашем методе, была определена статистически по достаточно большой совокупности звезд (несколько сотен звезд). Но сама дата составления каталога определялась сначала по совокупности из восьми именных звезд. А в последнем издании нашей книги об Альмагесте мы увеличили число "датирующих звезд" до двадцати ярких звезд (не только именных). Вообще говоря, нельзя априори исключить случай, что координаты этих звезд измерялись отдельно либо были взяты из более ранних наблюдений. Но тогда систематическая ошибка для этой совокупности именных звезд – образующих хорошо заметный базис опорных точек на небе, – была бы в общем случае отлична от определенной выше, по массе всех звезд. Поэтому необходимо проверить, так ли это. Именно при каждом значении t необходимо рассмотреть совокупность широт данного набора именных звезд Альмагеста и затем наилучшим образом совместить их с соответствующими истинными широтами. Если при таком совмещении окажется, что систематическая ошибка для выделенного малого числа именных звезд (напомним, что в Альмагесте 12 именных звезд) совпадает с ошибкой, определенной по большому числу звезд (не именных), то это означает, что данные именные звезды принадлежат той же генеральной совокупности, что и все рассмотренные ранее звезды. Следовательно, они могут быть использованы для датировки.
Рис. 2.13
Выделим те моменты времени t, когда максимальная широтная невязка по именным звездам будет менее 10 минут. Эти моменты времени также являются претендентами на дату составления каталога. Совершенно очевидно, что эта процедура может приводить лишь к расширению ранее найденного временного интервала 600-1300 годы н. э. Оказывается – и это заранее не очевидно, – что расширения интервала времени не происходит.
ВЫВОДЫ.
1. Восемь именных звезд из области А каталога Альмагеста имеют систематическую ошибку, близкую к найденной нами выше ошибке для всех звезд из части А.
2. При условии компенсации этой ошибки широтные невязки всех именных звезд Альмагеста из части Ане превосходят 10 минут на интервале времени от 600 года н. э. до 1300 года н. э. Таким образом, каталог Альмагеста был составлен в интервале от 600 до 1300 годов н. э.
3. Не существует поворота небесной сферы, приводящего не более чем к 10-минутной широтной невязке именных звезд за пределами найденного нами интервала возможных датировок 600-1300 годы н. э. Следовательно, каталог Альмагеста был составлен в эпоху VII – XIV веков н. э. и за пределами интервала 600-1300 годы н. э. его составить не могли.
4. В новом издании нашей книги о датировке Альмагеста мы расширили список звезд, анализ собственных движений которых дает датировку каталога Альмагеста. Оказалось, что полученные нами результаты подтверждают датировку каталога: он был создан в эпоху VII-XVII веков н. э.
Обсудим теперь устойчивость нашего метода. Метод базировался на предположении, что систематические ошибки приводят к повороту звездной сферы как жесткого целого. Однако можно рассмотреть и ошибки, приводящие к деформации этой сферы. Такие ошибки возникают, например, если измерительные круги армиллярной сферы неидеальны, слегка искажены. Могут ли такие искажения звездной сферы привести к смещению найденного нами интервала датировок 600-1300 годы н. э., например, до 100 года н. э. или даже до 100 года до н. э.? Этот вопрос легко исследуется геометрически, и ответ на него следующий. Для того чтобы интервал возможных датировок "захватил" 100 год н. э., – не говоря уже о 100 годе до н. э. – необходимо допустить превращение звездной сферы в эллипсоид, главные полуоси которого отличаются друг от друга не менее чем на 4%. Это очень большое искажение, невозможное при конструировании астрономических инструментов.
Далее, естественно спросить, а что будет, если действительная точность звездного каталога Альмагеста составляет не 10 минут, а, скажем, 15 или 20 минут? Расчеты показали, что увеличение порога с 10 минут до 17 минут хотя и приводит к расширению интервала возможных датировок, но этот расширенный интервал по-прежнему не захватывает 100 год н. э. Скалигеровская дата составления каталога Альмагеста попадает в интервал возможных датировок лишь в предположении, что точность каталога была не 10 минут, а 18 минут или более. При этом, однако, интервал возможных датировок расширится от начала новой эры вплоть до наших дней, то есть определить дату составления каталога не представится возможным.
6. Звездные карты Альмагеста
Локализация всех звезд в Альмагесте дана относительно фигур созвездий, которые предполагаются нанесенными на небо. Пользуясь каталогом, астроном должен сначала найти на небе ту или иную фигуру созвездия, а затем, обратившись к каталогу, найти на небе звезду, описанную, например, такими словами: "Звезда в конце хвоста". В данном примере речь идет о современной Полярной звезде. Или, скажем, "Звезда выше правого колена" в Большой Медведице и т. п. Если человек, пользующийся каталогом, не имеет перед собой звездной карты с нанесенными на нее фигурами, он не может найти интересующую его звезду. Конечно, пользуясь приведенными в каталоге численными значениями ее координат, он может при помощи приборов попытаться восстановить положение звезды на небе. Но это фактически означает повторение всего процесса измерения в обратном порядке, когда требуется по координатам найти звезду.
Это процесс довольно длительный и непростой. Ясно, что каталог как раз и предназначался для быстрого отыскания звезд на небе, а не для длительного "реставрационного процесса" путем обратных измерений.
Но в таком случае разные астрономы, пользующиеся каталогом, должны иметь абсолютно идентичные звездные карты, чтобы безошибочно восстановить правильное положение, например, "Звезды выше правого колена". Если на какой-то карте колено нарисовано по-другому или просто грубо, неаккуратно, то легко ошибиться. Точно отмечать звезды по членам воображаемых животных, традиционно помнить их из века в век и переносить из страны в страну, не путая названий на ночном небе, где не видно никаких ног, рук или хвостов, было возможно лишь для звезд первой и второй величины, то есть ярких звезд. Звезды третьей величины уже, естественно, путались, поскольку конец ноги или хвоста у воображаемого животного одни астрономы представляли себе правее или ниже, а другие – левее или выше. Ясно, что рисунки животных на картах играли роль криволинейной координатной сетки, позволяющей задавать положение звезд. Во всяком случае, астроном, составляющий каталог с точностью до 10минут – как Альмагест, – должен отдавать себе отчет в том, насколько важна идентичность фигур созвездий на разных экземплярах карты, которые он будет рассылать своим ученикам или коллегам. Как указано на титульном листе латинского издания Альмагеста, оно снабжено 48 звездными картами, гравированными А. Дюрером.
До появления книгопечатания звездные карты указывали только самые яркие звезды, причем расположение звезд по фигуре созвездия менялось от карты к карте. Только после изобретения гравюры появилась возможность издать подробную карту звездного неба для изучения ее разными астрономами в разных странах. До изобретения в XV веке механического, штамповального воспроизведения рисунков, гравюр не могло быть и речи о подобных звездных картах. Только массовый выпуск абсолютно идентичных экземпляров карты может оправдать громадный труд подробного изображения звезд с указанием звезд 3-й и 4-й величины, как это сделано в Альмагесте. Даже если кто-нибудь и взялся бы за титанический труд изготовления единичного экземпляра такой карты в допечатную эпоху, она не могла бы остаться в веках хотя бы потому, что единственный экземпляр карты быстро истлел бы, а воспроизведение его – причем достаточно точное, чтобы картой можно было реально пользоваться – означало бы повторение всей работы заново.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
Совсем иное положение с ошибкой ф. Она варьируется от созвездия созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы. Это – стандартный средневековый и "античный" инструмент (рис. 2.10). Схематическое изображение на рис. 2.11. При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора, включающий ошибку у, фиксируется в инструменте, а угол ф меняется от одной серии измерений к другой (рис. 2.12).
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Из проведенных рассуждений следует практический вывод. Л именно, мы вправе использовать для части неба А найденное значение в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном к галоге Альмагеста. Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра, а именно и игнорирование другого параметра, а именно? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин у и ф к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов (см. рис. 2.7). Здесь как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а – ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что приблизительно равняется Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если = 20', а = 10 градусов, то = 3'.
Преимущество параметров состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Вычисления показали, что р много меньше. Отметим, что в реальности не превышает 5'. Отсюда следует, что основной вклад, с точностью до 20%, в широтные невязки вносит составляющая. Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датирования каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные интервалы (St)y только для величины что упрощает вычисления.
РЕЗЮМЕ
1. Для звезд из каталога Альмагеста нами обнаружена систематическая ошибка. Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд А и ZodA, содержащих бблыиую часть северных и зодиакальных звезд каталога.
Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов. Значение представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t. Для величины лежит в этом интервале с вероятностью не меньше р. В нашей работе было принято значение р = 0, 998. Итогом является построение кривой и соответствующей доверительной полосы (рис. 2.9).
2. Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге Альмагеста присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений для всех рассмотренных совокупностей звезд – как больших, так и малых – имеют непустое пересечение, содержащее значения определенные для совокупностей звезд А и ZodA.
3. Систематическая ошибка в частях неба В, D, М определяется с большой погрешностью, что не дает оснований выбирать звезды из этих частей неба для целей датировки.
4. Проведенный анализ подтвердил, что в совокупностях звезд А и ZodA после компенсации систематической ошибки более половины звезд оказываются измеренными с широтной невязкой менее 10'. Тем самым выясняется, что претензии составителя каталога Альмагеста на точность в 10 минут состоятельны.
5. Ошибка не является "единой" для всех созвездий и, таким образом, не может считаться систематической. Однако ее влияние на широтные невязки звезд много меньше влияния ошибки.
ДАТИРОВКА КАТАЛОГА.
Перейдем теперь к датировке каталога Альмагеста. Проведенный анализ систематических ошибок позволил сделать вывод, что части неба А и ZodA каталога Альмагеста измерены наиболее точно. Поэтому для целей датировки нами были взяты звезды именно из части неба А. Однако путем только компенсации систематической ошибки датировать каталог невозможно. Для целей датировки необходимо знать, какие именно звезды составитель каталога измерял наиболее тщательно.
ГИПОТЕЗА 1. Наиболее тщательно измерялись именные звезды. Таких звезд в части неба А и на ее границе имеется девять. Это Арк-тур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес, Лира (= Вега), Капелла. Одна из этих звезд – Превиндемиатрикс – из рассмотрения была исключена, так как наблюденные Птолемеем ее координаты неизвестны. Отметим, что большинство из этих звезд находится в области неба ZodA (рис. 2.8). Это косвенно подтверждает сформулированную гипотезу. Именные звезды – это знаменитые, яркие звезды.
ГИПОТЕЗА 2. В момент измерения широтные ошибки всех именных звезд не превосходили 10'.
Если принять гипотезы 1 и 2, то их следствием станет метод датировки звездного каталога (подробное описание его есть в наших специальных книгах), применение которого показывает, что интервал возможных датировок каталога следующий: от 600 года н. э. до 1300 года н. э. (рис. 2.13).
За пределами этого интервала времени каталог составлен быть не мог. В частности, каталог Альмагеста не мог быть составлен во II веке н. э., куда его относит скалигеровская хронология.
Систематическая ошибка, компенсация которой играет столь важную роль в нашем методе, была определена статистически по достаточно большой совокупности звезд (несколько сотен звезд). Но сама дата составления каталога определялась сначала по совокупности из восьми именных звезд. А в последнем издании нашей книги об Альмагесте мы увеличили число "датирующих звезд" до двадцати ярких звезд (не только именных). Вообще говоря, нельзя априори исключить случай, что координаты этих звезд измерялись отдельно либо были взяты из более ранних наблюдений. Но тогда систематическая ошибка для этой совокупности именных звезд – образующих хорошо заметный базис опорных точек на небе, – была бы в общем случае отлична от определенной выше, по массе всех звезд. Поэтому необходимо проверить, так ли это. Именно при каждом значении t необходимо рассмотреть совокупность широт данного набора именных звезд Альмагеста и затем наилучшим образом совместить их с соответствующими истинными широтами. Если при таком совмещении окажется, что систематическая ошибка для выделенного малого числа именных звезд (напомним, что в Альмагесте 12 именных звезд) совпадает с ошибкой, определенной по большому числу звезд (не именных), то это означает, что данные именные звезды принадлежат той же генеральной совокупности, что и все рассмотренные ранее звезды. Следовательно, они могут быть использованы для датировки.
Рис. 2.13
Выделим те моменты времени t, когда максимальная широтная невязка по именным звездам будет менее 10 минут. Эти моменты времени также являются претендентами на дату составления каталога. Совершенно очевидно, что эта процедура может приводить лишь к расширению ранее найденного временного интервала 600-1300 годы н. э. Оказывается – и это заранее не очевидно, – что расширения интервала времени не происходит.
ВЫВОДЫ.
1. Восемь именных звезд из области А каталога Альмагеста имеют систематическую ошибку, близкую к найденной нами выше ошибке для всех звезд из части А.
2. При условии компенсации этой ошибки широтные невязки всех именных звезд Альмагеста из части Ане превосходят 10 минут на интервале времени от 600 года н. э. до 1300 года н. э. Таким образом, каталог Альмагеста был составлен в интервале от 600 до 1300 годов н. э.
3. Не существует поворота небесной сферы, приводящего не более чем к 10-минутной широтной невязке именных звезд за пределами найденного нами интервала возможных датировок 600-1300 годы н. э. Следовательно, каталог Альмагеста был составлен в эпоху VII – XIV веков н. э. и за пределами интервала 600-1300 годы н. э. его составить не могли.
4. В новом издании нашей книги о датировке Альмагеста мы расширили список звезд, анализ собственных движений которых дает датировку каталога Альмагеста. Оказалось, что полученные нами результаты подтверждают датировку каталога: он был создан в эпоху VII-XVII веков н. э.
Обсудим теперь устойчивость нашего метода. Метод базировался на предположении, что систематические ошибки приводят к повороту звездной сферы как жесткого целого. Однако можно рассмотреть и ошибки, приводящие к деформации этой сферы. Такие ошибки возникают, например, если измерительные круги армиллярной сферы неидеальны, слегка искажены. Могут ли такие искажения звездной сферы привести к смещению найденного нами интервала датировок 600-1300 годы н. э., например, до 100 года н. э. или даже до 100 года до н. э.? Этот вопрос легко исследуется геометрически, и ответ на него следующий. Для того чтобы интервал возможных датировок "захватил" 100 год н. э., – не говоря уже о 100 годе до н. э. – необходимо допустить превращение звездной сферы в эллипсоид, главные полуоси которого отличаются друг от друга не менее чем на 4%. Это очень большое искажение, невозможное при конструировании астрономических инструментов.
Далее, естественно спросить, а что будет, если действительная точность звездного каталога Альмагеста составляет не 10 минут, а, скажем, 15 или 20 минут? Расчеты показали, что увеличение порога с 10 минут до 17 минут хотя и приводит к расширению интервала возможных датировок, но этот расширенный интервал по-прежнему не захватывает 100 год н. э. Скалигеровская дата составления каталога Альмагеста попадает в интервал возможных датировок лишь в предположении, что точность каталога была не 10 минут, а 18 минут или более. При этом, однако, интервал возможных датировок расширится от начала новой эры вплоть до наших дней, то есть определить дату составления каталога не представится возможным.
6. Звездные карты Альмагеста
Локализация всех звезд в Альмагесте дана относительно фигур созвездий, которые предполагаются нанесенными на небо. Пользуясь каталогом, астроном должен сначала найти на небе ту или иную фигуру созвездия, а затем, обратившись к каталогу, найти на небе звезду, описанную, например, такими словами: "Звезда в конце хвоста". В данном примере речь идет о современной Полярной звезде. Или, скажем, "Звезда выше правого колена" в Большой Медведице и т. п. Если человек, пользующийся каталогом, не имеет перед собой звездной карты с нанесенными на нее фигурами, он не может найти интересующую его звезду. Конечно, пользуясь приведенными в каталоге численными значениями ее координат, он может при помощи приборов попытаться восстановить положение звезды на небе. Но это фактически означает повторение всего процесса измерения в обратном порядке, когда требуется по координатам найти звезду.
Это процесс довольно длительный и непростой. Ясно, что каталог как раз и предназначался для быстрого отыскания звезд на небе, а не для длительного "реставрационного процесса" путем обратных измерений.
Но в таком случае разные астрономы, пользующиеся каталогом, должны иметь абсолютно идентичные звездные карты, чтобы безошибочно восстановить правильное положение, например, "Звезды выше правого колена". Если на какой-то карте колено нарисовано по-другому или просто грубо, неаккуратно, то легко ошибиться. Точно отмечать звезды по членам воображаемых животных, традиционно помнить их из века в век и переносить из страны в страну, не путая названий на ночном небе, где не видно никаких ног, рук или хвостов, было возможно лишь для звезд первой и второй величины, то есть ярких звезд. Звезды третьей величины уже, естественно, путались, поскольку конец ноги или хвоста у воображаемого животного одни астрономы представляли себе правее или ниже, а другие – левее или выше. Ясно, что рисунки животных на картах играли роль криволинейной координатной сетки, позволяющей задавать положение звезд. Во всяком случае, астроном, составляющий каталог с точностью до 10минут – как Альмагест, – должен отдавать себе отчет в том, насколько важна идентичность фигур созвездий на разных экземплярах карты, которые он будет рассылать своим ученикам или коллегам. Как указано на титульном листе латинского издания Альмагеста, оно снабжено 48 звездными картами, гравированными А. Дюрером.
До появления книгопечатания звездные карты указывали только самые яркие звезды, причем расположение звезд по фигуре созвездия менялось от карты к карте. Только после изобретения гравюры появилась возможность издать подробную карту звездного неба для изучения ее разными астрономами в разных странах. До изобретения в XV веке механического, штамповального воспроизведения рисунков, гравюр не могло быть и речи о подобных звездных картах. Только массовый выпуск абсолютно идентичных экземпляров карты может оправдать громадный труд подробного изображения звезд с указанием звезд 3-й и 4-й величины, как это сделано в Альмагесте. Даже если кто-нибудь и взялся бы за титанический труд изготовления единичного экземпляра такой карты в допечатную эпоху, она не могла бы остаться в веках хотя бы потому, что единственный экземпляр карты быстро истлел бы, а воспроизведение его – причем достаточно точное, чтобы картой можно было реально пользоваться – означало бы повторение всей работы заново.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73